pjt222/solve-trigonometric-problem
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Trigonometrische Gleichungen lösen, Dreiecke auflösen (Sinus-/Kosinussatz), trigonometrische Identitäten verifizieren und Anwendungen mit Winkeln und periodischen Funktionen bearbeiten. Verwenden für Gleichungen mit sin, cos, tan, Dreiecksberechnungen und Identitätsbeweise.
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Socket.devSupply chain security analysis
50%
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50%
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CrowdStrikeAdvanced threat intelligence
50%
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50%
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OWASP Dep-Check
50%
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SKILL.md
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- solve-trigonometric-problem
- description:
- >
- license:
- MIT
- allowed-tools:
- Read Grep Glob WebFetch WebSearch
- author:
- Philipp Thoss
- version:
- 1.0
- domain:
- geometry
- complexity:
- intermediate
- language:
- multi
- tags:
- geometry, trigonometry, triangle-solving, identities, periodic-functions
- locale:
- de
- source_locale:
- en
- source_commit:
- 6f65f316
- translator:
- claude-sonnet-4-6
- translation_date:
- 2026-03-16
Trigonometrisches Problem lösen
Trigonometrische Gleichungen lösen, Dreiecke mit Sinus- und Kosinussatz auflösen, Identitäten verifizieren und Anwendungen mit periodischen Funktionen bearbeiten.
Wann verwenden
- Lösen trigonometrischer Gleichungen (z.B. 2sin(x) + 1 = 0)
- Berechnung unbekannter Seiten und Winkel in Dreiecken
- Beweis oder Verifikation trigonometrischer Identitäten
- Analyse periodischer Funktionen (Amplitude, Periode, Phasenverschiebung)
- Anwendungsprobleme mit Winkeln, Entfernungen und Höhen
Eingaben
- Erforderlich: Trigonometrische Gleichung, Identität oder Dreiecksproblem
- Erforderlich: Problemtyp (Gleichung lösen, Dreieck auflösen, Identität beweisen, Anwendung)
- Optional: Lösungsintervall (z.B. [0, 2pi) oder alle reellen Zahlen)
- Optional: Gewünschte Einheit (Grad oder Bogenmaß)
- Optional: Genauigkeitsanforderung (exakt oder gerundete Dezimalzahl)
Vorgehensweise
Schritt 1: Problem klassifizieren und normalisieren
Den Problemtyp bestimmen und in Standardform bringen:
- Gleichung: In die Form f(x) = 0 bringen, alle trigonometrischen Funktionen auf eine einzige Funktion (sin, cos) reduzieren, sofern möglich.
- Dreiecksauflösung: Die gegebenen Elemente identifizieren (SSS, SWS, WSW, SSW) und den passenden Lösungsansatz wählen.
- Identitätsbeweis: Eine Seite als Ausgangspunkt wählen und systematisch zur anderen Seite umformen.
- Periodische Funktion: In die Form A * sin(B*x + C) + D bringen und Parameter identifizieren.
Erwartet: Problem in Standardform mit identifiziertem Lösungsansatz.
Bei Fehler: Falls die Gleichung gemischte trigonometrische Funktionen enthält, Additionstheoreme oder die Beziehung sin^2 + cos^2 = 1 verwenden, um auf eine einzige Funktion zu reduzieren.
Schritt 2: Lösung berechnen
Den identifizierten Lösungsansatz anwenden:
- Gleichungen: Trigonometrische Funktion isolieren, Referenzwinkel bestimmen, alle Lösungen im gegebenen Intervall finden.
- Dreiecke:
- Kosinussatz: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C) für SSS und SWS
- Sinussatz: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) für WSW und SSW
- Mehrdeutigkeit bei SSW: Prüfen, ob 0, 1 oder 2 Dreiecke existieren
- Identitäten: Systematisch umformen unter Verwendung von:
- Pythagoräische Identitäten: sin^2 + cos^2 = 1
- Additionstheoreme: sin(A+B), cos(A+B)
- Doppelwinkelformeln: sin(2A), cos(2A)
- Produkt-zu-Summe und Summe-zu-Produkt-Formeln
Erwartet: Vollständige Lösung mit allen Werten und Begründung der Schritte.
Bei Fehler: Bei SSW-Problemen die Mehrdeutigkeit systematisch prüfen: Wenn a >= b, gibt es genau ein Dreieck. Wenn a < b, den Winkel B berechnen und prüfen, ob B und 180-B beide gültige Lösungen ergeben.
Schritt 3: Ergebnis verifizieren
Die Lösung durch Rücksubstitution oder alternative Methode bestätigen:
- Rücksubstitution: Alle Lösungen in die Originalgleichung einsetzen und Gleichheit prüfen.
- Dreieck: Winkelsumme = 180° prüfen, Sinussatz auf alle Seiten/Winkel anwenden und Konsistenz verifizieren.
- Identität: Beide Seiten für mehrere spezifische Winkelwerte numerisch auswerten.
- Grafische Prüfung: Die Funktion plotten, um Lösungen visuell zu bestätigen.
Erwartet: Alle Lösungen bestehen die Verifikation und Scheinlösungen sind ausgeschlossen.
Bei Fehler: Falls eine Lösung die Verifikation nicht besteht, prüfen, ob beim Quadrieren oder bei der Division durch null Scheinlösungen eingeführt wurden.
Validierung
- [ ] Problem korrekt klassifiziert und Lösungsansatz identifiziert
- [ ] Alle Lösungen im angegebenen Intervall gefunden
- [ ] Bei Dreiecken: Mehrdeutigkeit bei SSW geprüft
- [ ] Lösungen durch Rücksubstitution verifiziert
- [ ] Scheinlösungen erkannt und ausgeschlossen
- [ ] Einheiten (Grad/Bogenmaß) konsistent verwendet
Häufige Fehler
- Scheinlösungen durch Quadrieren: Wenn eine trigonometrische Gleichung quadriert wird, können zusätzliche Lösungen entstehen, die die Originalgleichung nicht erfüllen. Immer rücksubstituieren.
- Mehrdeutigkeit bei SSW ignorieren: Der Fall SSW (zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel) kann 0, 1 oder 2 Lösungen haben. Das Ignorieren des zweiten möglichen Dreiecks ist ein häufiger Fehler.
- Grad und Bogenmaß verwechseln: In einem Problem konsequent eine Einheit verwenden. Taschenrechner zwischen DEG und RAD umschalten ist eine häufige Fehlerquelle.
- Definitionsbereich ignorieren: tan(x) ist bei x = pi/2 + n*pi nicht definiert, und arcsin/arccos haben eingeschränkte Wertebereiche.
- Nur Hauptwerte angeben: Trigonometrische Gleichungen haben typischerweise unendlich viele Lösungen. Im Intervall [0, 2pi) alle Lösungen finden, dann die allgemeine Lösung mit + n2pi (oder + npi für tan) angeben.
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