pjt222/prove-geometric-theorem
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Geometrische Sätze formal beweisen mit euklidisch-axiomatischen Methoden, Koordinatenbeweisen und Vektorbeweisen. Verwenden zum Beweis von Kongruenz- und Ähnlichkeitssätzen, Kreiseigenschaften, Kollinearität und Konzyklität sowie zur Validierung geometrischer Konstruktionen.
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SKILL.md
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- prove-geometric-theorem
- description:
- >
- license:
- MIT
- allowed-tools:
- Read Grep Glob WebFetch WebSearch
- author:
- Philipp Thoss
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- 1.0
- domain:
- geometry
- complexity:
- advanced
- language:
- multi
- tags:
- geometry, proofs, euclidean-axioms, coordinate-proofs, vector-proofs
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- de
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- en
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- 6f65f316
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- claude-sonnet-4-6
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- 2026-03-16
Geometrischen Satz beweisen
Geometrische Sätze mit verschiedenen Beweismethoden formal beweisen: euklidisch-axiomatische Beweise, Koordinatenbeweise und Vektorbeweise, mit klarer Argumentationsstruktur und vollständiger Begründung jedes Schritts.
Wann verwenden
- Formaler Beweis eines geometrischen Satzes aus Axiomen und bekannten Sätzen
- Beweis von Kongruenz, Ähnlichkeit oder metrischen Beziehungen in Figuren
- Nachweis von Kollinearität, Konzyklität oder Parallelität
- Validierung, dass eine geometrische Konstruktion die gewünschte Eigenschaft besitzt
- Lehre oder Wiederholung geometrischer Beweistechniken
Eingaben
- Erforderlich: Zu beweisende Aussage (Satz, Korollar oder Vermutung)
- Erforderlich: Gegebene Voraussetzungen und Definitionen
- Optional: Bevorzugte Beweismethode (synthetisch, Koordinaten, Vektor, Transformation)
- Optional: Erlaubte Hilfssätze und Axiome
- Optional: Figur oder Diagramm der Konfiguration
Vorgehensweise
Schritt 1: Aussage analysieren und Beweismethode wählen
Die Aussage in eine beweisbare Form bringen:
- Aussage formalisieren: Die zu beweisende Aussage als logische Formel oder präzise Wenn-Dann-Aussage formulieren.
- Bekannte Sätze identifizieren: Relevante bekannte Sätze auflisten, die als Hilfsmittel dienen können (z.B. Strahlensätze, Kreiswinkelsatz, Satz des Pythagoras).
- Beweismethode wählen:
- Synthetisch (euklidisch): Direkte Argumentationskette aus Axiomen und Sätzen. Bevorzugt für elegante, allgemeine Beweise.
- Koordinaten: Punkte in ein Koordinatensystem setzen und algebraisch rechnen. Gut für metrische Aussagen.
- Vektor: Vektoren für Punkte und Strecken verwenden. Gut für Parallelität, Teilungsverhältnisse und Kollinearität.
- Widerspruchsbeweis: Annahme des Gegenteils und Herleitung eines Widerspruchs.
- Transformation: Symmetrie, Drehung oder Ähnlichkeit nutzen.
Erwartet: Aussage formalisiert, Beweismethode gewählt und begründet.
Bei Fehler: Falls keine Beweismethode offensichtlich ist, mit Koordinatenbeweisen beginnen (mechanisch aber zuverlässig), dann prüfen, ob ein eleganterer synthetischer Beweis möglich ist.
Schritt 2: Beweis ausführen
Den Beweis Schritt für Schritt durchführen:
- Jede Aussage begründen: Jeden Schritt mit einer der folgenden Begründungen versehen:
- Voraussetzung (gegeben)
- Definition
- Axiom
- Zuvor bewiesener Satz (mit Referenz)
- Logische Schlussfolgerung aus vorherigen Schritten
- Hilfskonstruktionen: Falls nötig, zusätzliche Punkte, Geraden oder Kreise einführen und deren Existenz begründen.
- Fallunterscheidung: Falls die Aussage Fallunterscheidungen erfordert, jeden Fall separat behandeln und die Vollständigkeit der Fälle begründen.
- Ketten: Kongruenz- und Ähnlichkeitsschlüsse sauber aufbauen (z.B. SWS, WSW, SSS für Kongruenz).
Erwartet: Ein lückenloser Beweis, bei dem jeder Schritt explizit begründet ist.
Bei Fehler: Falls ein Schritt nicht begründet werden kann, prüfen, ob eine Voraussetzung fehlt oder ob ein stärkerer Hilfssatz benötigt wird. Häufiger Fehler: implizite Annahmen, die nicht aus den Voraussetzungen folgen.
Schritt 3: Beweis verifizieren
Die Korrektheit und Vollständigkeit prüfen:
- Logische Kette prüfen: Sicherstellen, dass jeder Schritt aus den vorherigen folgt und keine zirkulären Argumente vorliegen.
- Spezialfälle testen: Den Satz für konkrete Zahlenwerte oder degenerierte Fälle (z.B. gleichseitiges Dreieck, rechter Winkel) prüfen.
- Gegenbeispiel suchen: Aktiv versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden, das die Aussage widerlegt (sollte scheitern, wenn der Beweis korrekt ist).
- Vollständigkeit: Prüfen, ob alle Fälle abgedeckt sind und keine Randübergänge fehlen.
Erwartet: Der Beweis ist verifiziert, alle Spezialfälle bestehen den Test, und kein Gegenbeispiel existiert.
Bei Fehler: Falls ein Spezialfall fehlschlägt, den Beweis auf implizite Annahmen prüfen, die in diesem Fall verletzt werden. Häufig: Division durch null in Koordinatenbeweisen, degenerierte Dreiecke in Kongruenzsätzen.
Validierung
- [ ] Aussage klar und formal formuliert
- [ ] Voraussetzungen vollständig aufgelistet
- [ ] Beweismethode gewählt und begründet
- [ ] Jeder Beweisschritt explizit begründet
- [ ] Keine zirkulären Argumente
- [ ] Alle Fälle in Fallunterscheidungen abgedeckt
- [ ] Spezialfälle getestet
- [ ] Kein Gegenbeispiel gefunden
Häufige Fehler
- Zirkuläre Argumentation: Den zu beweisenden Satz (oder eine äquivalente Aussage) als Hilfsmittel verwenden. Immer prüfen, ob ein verwendeter Hilfssatz unabhängig vom aktuellen Satz bewiesen wurde.
- Implizite Annahmen aus der Figur: Aus einem Diagramm ablesen, dass Punkte „offensichtlich" kollinear oder Geraden „offensichtlich" parallel sind, ohne dies zu beweisen. Die Figur dient nur der Intuition, nicht als Beweis.
- Degenerierte Fälle ignorieren: Viele geometrische Sätze haben Ausnahmen bei degenerierten Konfigurationen (z.B. wenn drei Punkte kollinear sind oder ein Dreieck zum Segment degeneriert). Diese Fälle müssen separat behandelt oder explizit ausgeschlossen werden.
- Falsche Kongruenzsätze: SSA (Seite-Seite-Winkel) ist kein gültiger Kongruenzsatz (es gibt einen Mehrdeutigkeitsfall). Nur SSS, SWS, WSW und der Hypotenuse-Kathete-Satz (für rechtwinklige Dreiecke) sind gültig.
- Koordinatenwahl verzerrt: Bei Koordinatenbeweisen die Koordinaten so wählen, dass keine Spezialität eingeführt wird. Einen Punkt auf den Ursprung und eine Achse entlang einer gegebenen Geraden zu legen ist erlaubt; aber z.B. ein Dreieck gleichschenklig zu machen, wenn dies nicht vorausgesetzt ist, führt zu einem Beweis, der nur den Spezialfall abdeckt.
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