pjt222/analyze-prime-numbers
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Primzahlen analysieren durch Primzahltests (Probedivision, Miller-Rabin), Faktorisierung (Probedivision, Pollard-Rho), Sieb des Eratosthenes und Anwendung des Primzahlsatzes. Verwenden zur Bestimmung der Primalität, Faktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen und Analyse der Primzahlverteilung.
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95%
Clean
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95%
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Snyk (dep)Open source security scanning
50%
Skipped
Socket.devSupply chain security analysis
50%
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50%
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CrowdStrikeAdvanced threat intelligence
50%
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50%
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OWASP Dep-Check
50%
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SKILL.md
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- analyze-prime-numbers
- description:
- >
- license:
- MIT
- allowed-tools:
- Read Grep Glob WebFetch WebSearch
- author:
- Philipp Thoss
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- 1.0
- domain:
- number-theory
- complexity:
- intermediate
- language:
- multi
- tags:
- number-theory, prime-numbers, factorization, primality-testing, sieve
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- de
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- en
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- 6f65f316
- translator:
- claude-sonnet-4-6
- translation_date:
- 2026-03-16
Primzahlen analysieren
Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen anwenden, um die Primalität von Zahlen zu bestimmen, zusammengesetzte Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und die Verteilung von Primzahlen zu untersuchen.
Wann verwenden
- Bestimmung, ob eine gegebene Zahl prim ist
- Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl in ihre Primfaktoren
- Erzeugung aller Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze
- Abschätzung der Primzahlanzahl in einem Intervall
- Vorbereitung zahlentheoretischer Eingaben für Kryptographie oder modulare Arithmetik
Eingaben
- Erforderlich: Zu analysierende Zahl(en) oder Zahlenbereich
- Erforderlich: Aufgabentyp (Primzahltest, Faktorisierung, Sieb oder Verteilungsanalyse)
- Optional: Gewünschte Zuverlässigkeit für probabilistische Tests (Anzahl der Runden)
- Optional: Zeitlimit für Faktorisierungsversuche
Vorgehensweise
Schritt 1: Methode basierend auf Zahlenbereich wählen
Die passende Methode für die Größenordnung der Eingabe auswählen:
- Kleine Zahlen (< 10^6): Probedivision bis sqrt(n) ist effizient. Sieb des Eratosthenes für die Erzeugung aller Primzahlen.
- Mittlere Zahlen (10^6 bis 10^18): Deterministische Miller-Rabin-Tests mit spezifischen Basen, die für den Bereich beweiskräftig sind.
- Große Zahlen (> 10^18): Probabilistische Miller-Rabin-Tests mit mehreren zufälligen Basen. Faktorisierung mit Pollard-Rho oder ECM (Elliptische-Kurven-Methode).
Erwartet: Eine begründete Methodenwahl mit dokumentierter Zuverlässigkeit.
Bei Fehler: Falls die Methode zu langsam ist, zu einer effizienteren Methode wechseln. Falls die probabilistische Methode ein unsicheres Ergebnis liefert, die Anzahl der Runden erhöhen.
Schritt 2: Primzahltest oder Faktorisierung durchführen
Den gewählten Algorithmus ausführen:
- Probedivision: Durch alle Primzahlen p <= sqrt(n) teilen. Falls keine teilt, ist n prim.
- Sieb des Eratosthenes: Alle Vielfachen von Primzahlen ab 2 streichen. Die verbleibenden Zahlen sind prim.
- Miller-Rabin-Test: n-1 = 2^s * d schreiben, dann für Basis a prüfen, ob a^d = 1 (mod n) oder a^(2^r * d) = -1 (mod n) für ein r < s.
- Pollard-Rho: Iterative Sequenz x_{i+1} = x_i^2 + c (mod n) berechnen und ggT(|x_i - x_j|, n) prüfen.
Erwartet: Definitiver Primzahltest oder vollständige Faktorzerlegung mit dokumentiertem Algorithmus.
Bei Fehler: Falls Pollard-Rho keinen Faktor findet, den Parameter c ändern und erneut starten. Falls alle Methoden scheitern, fortgeschrittene Methoden (ECM, Quadratisches Sieb, GNFS) in Betracht ziehen.
Schritt 3: Ergebnis verifizieren und dokumentieren
Das Ergebnis bestätigen und in Kontext setzen:
- Faktorisierung prüfen: Das Produkt aller gefundenen Primfaktoren muss die Originalzahl ergeben.
- Primalität der Faktoren prüfen: Jeden gefundenen Faktor separat auf Primalität testen.
- Primzahlsatz anwenden: Die Ergebnisse mit dem Primzahlsatz pi(x) ~ x/ln(x) vergleichen, um die Plausibilität zu prüfen.
- Besondere Eigenschaften notieren: Zwillingsprimzahlen, Sophie-Germain-Primzahlen, Mersenne-Primzahlen usw.
Erwartet: Verifiziertes Ergebnis mit vollständiger Dokumentation.
Bei Fehler: Falls die Verifikation fehlschlägt, den Algorithmus Schritt für Schritt nachverfolgen, um den Fehler zu lokalisieren.
Validierung
- [ ] Methode passend zur Größenordnung gewählt
- [ ] Algorithmus korrekt implementiert und ausgeführt
- [ ] Ergebnis durch Rückmultiplikation verifiziert (bei Faktorisierung)
- [ ] Alle Faktoren auf Primalität geprüft
- [ ] Probabilistische Tests mit ausreichend Runden durchgeführt
Häufige Fehler
- 1 als Primzahl betrachten: 1 ist per Definition keine Primzahl. Die Primfaktorzerlegung beginnt bei 2.
- Probedivision über sqrt(n) hinaus: Es genügt, bis sqrt(n) zu prüfen. Falls keine Primzahl bis sqrt(n) die Zahl teilt, ist sie prim.
- Miller-Rabin als deterministisch behandeln: Der allgemeine Miller-Rabin-Test ist probabilistisch. Für deterministische Ergebnisse spezifische Basen verwenden, die für den Zahlenbereich beweiskräftig sind.
- Pollard-Rho bei Primzahlen anwenden: Der Algorithmus findet nur nichttriviale Faktoren. Bei Primzahlen läuft er endlos ohne Ergebnis. Zuerst einen Primzahltest durchführen.
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